Exponenciales Complejos
Propiedades del exponencial:
Tomando en cuenta que el exponencial ahora tiene un enfoque complejo, se lo representa de la siguiente forma: considerando que z=x+iy
Por consiguiente, el exponencial complejo tiene las siguientes propiedades:
Se puede representar al exponencial de la siguiente manera involucrando a la función seno y coseno:
Logaritmo complejo y exponencial complejo en forma general:
Foto de un mapa conceptual sobre FUNCIONES TRASCENDENTES desarrollado en clase:
Funciones De Variable Compleja
Las funciones de variable compleja presentan definiciones, propiedades y reglas similares a las funciones de variable real, salvo que se debe tomar en cuenta que son números complejos.
Sea S un conjunto de números complejos. Una función f de variable compleja definida en S es una regla que asigna a cada número complejo z = x + iy de S, algún número complejo w = u + iv. El número complejo w se llama valor de f en z y se denota por f (z), es decir w = f (z), y el conjunto S donde está definida la función f(z) se llama dominio de f.
Dado que z y w son números complejos, relacionados por la función f, es posible escribir w = f (z) u + iv = f(x + iy) donde hemos considerado que w = u + iv y z = x + iy. Lo anterior permite expresar a la función de variable compleja f (z) como la suma f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) , cuando usamos la representación rectangular.
Información sobre Lugares Geométricos ya que estos son demasiado importantes en este tema:
Limites de Funciones de Variable Compleja
Todas las propiedades de límites se cumplen y se pueden usar.
Utilizando los conocimientos de CONTINUIDAD:
f: A ⊆ C → C se dirá continua en z0 ∈ A si existe el límite de f(z) cuando z → z0 y además limz→z0 f(z) = f(z0). La función f se dirá continua en A si es continua en todo punto de A. Como no podía ser de otra manera, la continuidad de f ocurre si y sólo si son continuas la funciones coordenadas Re f e Im f.
Discontinuidad.
En este caso la discontinuidad puede ser evitable o no evitable, dependiendo de la existencia del límite.
Evitable:
-Existe el lim f (z)de la función , pero es diferente a f(z), evaluada en Zo.
-Existe el lim f (z), pero no está definido f(z)
Inevitable:
-No existe el lim f (z) en ese punto.
Cuando es evitable se la puede redefinir y ahi es continua.
PRUEBA 1: Esta se realizo 2016/11/12
Derivación de Funciones de Variable Compleja
La función compleja f es derivable en Zo si y solo si:
o también:
La definición, propiedades y reglas de derivación de las funciones de variable real se aplican a las derivadas de variable compleja.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Supóngase que f (z) = u(x, y) + v(x, y)i es derivable en el punto zo = xo + yo i. Entonces existen las primeras derivadas parciales de las funciones u(x, y) y v(x, y) en el punto (xo, yo) y estas deben cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
∂u /∂x = ∂v/ ∂y
∂u /∂y = − ∂v /∂x
Tomando en cuenta que para encontrar las derivadas parciales se usara la definición:
FUNCIONES ANALÍTICAS
Una función compleja f(z) es analítica en Zo, si sólo si es derivable para todo Z de algún disco o bola abierta en D de centro Zo; D se define como D : |Z-Zo| < r.
FUNCIONES ARMÓNICAS
Integración Compleja
Curvas en el Plano
Una curva parametrizada en el plano complejo C es la imagen
de una función continua con valores complejos z(t) = x(t) + jy(t) definida para los puntos t de
un intervalo [t1, t2] ⊂ R. La variable independiente t de la función z(t) se llama parámetro de
la curva y la propia función z(t) recibe el nombre de parametrización de la curva. Los puntos
z1 = z(t1) y z2 = z(t2) se llaman extremos de la curva; z1 es el extremo de partida y z2 es el
extremo de llegada (por eso en algunos textos no se habla de curvas en el plano complejo, sino
de caminos). Naturalmente, una curva z(t) en el plano complejo C se identifica con la curva
(x(t), y(t)) en el plano real, lo que nos permite trasladar de manera obvia a curvas complejas
algunos conceptos dados para curvas planas como los de curva simple (la que no se cruza consigo
misma salvo, quizás, en los extremos), curva cerrada (cuando sus extremos coinciden), curva
regular o suave (cuando las funciones x(t) e y(t) son derivables con derivada continua en [t1, t2],
en cuyo caso se define z0
(t) = x0
(t) +jy0
(t)), curva regular o suave a trozos (cuando las funciones
x(t) e y(t) son derivables con derivada continua en [t1, t2] salvo en un número finito de valores
del parámetro que corresponden a esquinas de la curva) o curva de Jordan (una curva regular a
trozos, cerrada y simple).
Integrales de Línea
En resumen:
Conjunto Simplemente Conexo
D es un dominio simplemente conexo, si solamente contiene puntos en D, en forma práctica se dice que es simplemente conexo si "no tiene huecos “o no tiene restricciones en ese dominio.
Sea Γ una curva suave a trozos en Z1 y Z2, en un dominio D simplemente conexo. Si f(z) es analítica en D y sea F'(z)=f(z) (F(z): anti derivada) en el dominio D.
Teorema de Cauchy
Sea f una función analítica en D, un dominio simplemente conexo, y ϒuna curva simple cerrada en D:
Si f es analítica en D, un dominio simplemente conexo, entonces la integral de línea de f (z) es independiente de la trayectoria en D.
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